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1의 개수 세기 - 해답

벌써 어제 말한 내일이 되었는데 답을 주신 분이 아무도 없어서 좀 뻘쭘하네요. :-P

그리고 어제 문제에 O(1)이라고 적었는데 엄밀히 얘기하자면 O(log10 n)이라고 적었어야 했네요. 죄송합니다.

...

문제를 잠시 생각해보면 1~n까지의 수들 중 1의 개수를 얻기 위해서는 해당 숫자 n의 각 자리의 1의 개수가 모두 몇개나 될지를 구해서 더하면 된다는 사실을 알 수 있습니다.

예를 들어 13이라는 수를 생각해 보면 1~13까지의 수에서 1의 자리에는 1이 모두 몇개나 되는지와 10의 자리에는 모두 몇개나 되는지를 구해 이 값을 더하면 됩니다. 먼저 1의 자리를 생각해 보면 1, 11의 두 개가 있으며 10의 자리의 경우, 10, 11, 12, 13의 네 개가 있습니다. 따라서 2+4=6이라는 값을 구할 수 있습니다.

이번엔 234라는 수에서 10의 자리를 예로 들어 살펴 보겠습니다. 1~234라는 수들 중 10의 자리에 1이 들어가는 수는 10, 11, ..., 19, 110, 111, ... 119, 210, 211, ..., 219들로 모두 30개가 있음을 알 수 있습니다. 이 규칙들을 보면 해당 자리수의 1의 개수를 구하는 공식을 만들 수 있습니다.

234의 10의 자리에 해당하는 1의 개수는 ((234/100)+1)*10이 됩니다. 여기서 +1은 해당 자리수의 수가 0이 아닌 경우에만 더해집니다. 예를 들어 204라면 ((204/100)+0)*10으로 30개가 아닌 20개가 됩니다.

이런 방식으로 234의 각 자리수의 1의 개수를 구하면 1의 자리에 해당하는 1의 개수는 ((234/10)+1)*1=24개가 되고 100의 자리에 해당하는 개수는 ((234/1000)+1)*100=100이 됩니다. 이들 세 수를 모두 합하면 24+30+100=154개가 됩니다.

한가지 추가로 생각해야 할 점은 제일 큰 자리의 수가 1인 경우 위의 공식이 아닌 다른 공식이 필요하다는 점입니다. 예를 들어 123에서 100의 자리에 해당하는 1의 개수는 ((123/1000)+1)*100=100이 아니라 (123-100)+1=24가 됩니다.

설명이 복잡했지만 코드를 보면 간단합니다.


typedef long long int64;

int count1(int64 orig_n)
{
if (orig_n == 0) return 0;

int64 n = orig_n;

int64 cnt = 0;
int64 times = 1;

while (n >= 10) {
int r = n % 10;
n /= 10;
cnt += (n + (r != 0)) * times;
times *= 10;
}

if (n > 1)
cnt += times;
else
cnt += orig_n - times + 1;

return cnt;
}


참고로 1의 개수에는 다음과 같은 규칙도 있습니다. 정수의 세계란 참으로 오묘합니다. :-)


$ ./a.out 9
1
$ ./a.out 99
20
$ ./a.out 999
300
$ ./a.out 9999
4000
$ ./a.out 99999
50000
$ ./a.out 999999
600000
$ ./a.out 9999999
7000000
$ ./a.out 99999999
80000000
$ ./a.out 999999999
900000000

Comments

  1. O(log10n)이긴 합니다만, 그 경우 덧셈, 곱셈, 나눗셈의 부하는 세지 않으신게되지 않을까요.

    깊이 생각해보진 않았지만 혹시 다른 방법으로 (예를들어 덧셈만 쓴다던가) 할 수는 없는지 궁금해지네요.

    ReplyDelete
  2. 네, 여기서는 그 정도까진 고려하지 않았습니다. :-)

    위의 코드에서 사용한 int형의 사칙 연산은 어차피 하드웨어에서 할테니 수의 자리수와는 무관한 성능이 나오지 않을까 합니다.

    더 좋은 방법이 있을지는 좀 더 생각해봐야겠네요. 아직까진 위에서 사용한 방법이 최선으로 보입니다.

    ReplyDelete

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1의 개수 세기

저도 간단한 알고리즘 문제 하나... :-)

어떤 수 n이 주어졌을때 1~n까지의 수를 쭈욱 썼을때 나오는 1의 개수를 구하는 문제입니다.

예를 들어 13이라는 수가 주어지면 1~13까지의 수 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13에서 1은 1, 10, 11, 12, 13에 나오며 그 개수는 6이 됩니다. 즉, f(13)=6.

원래 문제는 f(n)=n이 되는 1이 아닌 가장 작은 수를 구하는 문제인데 이 문제의 경우에는 처음부터 쭈욱 세어나가면 되기 때문에 간단히 다음과 같이 구현을 하면 됩니다. ((한가지 주의할 점은 이전에 찾았던 n-1값을 사용하지 않고 다시 처음부터 n까지 값을 계산하면 시간이 너무 많이 걸린다는 점입니다. 위의 코드에서는 static 변수를 사용하여 이전 값에 계속 더해나가는 방법을 사용했습니다.))


#include

int count1(int n)
{
static int cnt = 1; // not 0 because n starts from 2. see main.

while (n > 0) {
if ((n % 10) == 1) ++cnt;
n /= 10;
}

return cnt;
}

int main()
{
using namespace std;

int n = 2;

while (count1(n) != n) ++n;
cout << n << endl;
}


좀 재미가 없죠? 그래서 이번 문제는 어떤 수 n에 대해서 f(n)을 O(1)시간에 구하는 알고리즘을 만드는 것입니다. 관심있으신 분들은 한번 풀어보세요. 제가 만든 코드는 내일 올려보겠습니다.

C++ of the Day #9 - Boost.Python 사용하기 #1

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Boost.Python은 이런 SWIG와 같이 python 모듈을 쉽게 만들 수 있도록 도와주는 라이브러리로 순수 C++만을 사용한다는 점이 SWIG와 다른 점입니다. 그리고 개인적으로는 Boost 라이브러리에 포함되어 있는 것들이 왠지 좀 더 믿음직스러워서... :-)

이번 글에서는 Boost.Python 문서에 나와 있는 예제를 가지고 간단하게 python 모듈을 만드는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

Requirements리눅스
이 글에서는 리눅스 환경에서의 사용 방법을 설명한다.Boost.Python 라이브러리 (1.33.1)
Boost 라이브러리를 다운로드받아 아래와 유사한 명령으로 라이브러리를 빌드한다.
bjam -sTOOLS=gcc -with-python install

bjam의 --prefix 옵션으로 라이브러리가 설치될 위치를 변경할 수 있다.Python 라이브러리 (2.4.3)
Python을 다운로드 받아 빌드하여 설치한다.
위의 경우와 유사하게 configure의 --prefix 옵션으로 설치될 위치를 변경할 수 있다.

Write C++ Code다음과 같이 코드를 작성한다.

// greet.cpp #include <stdexcept> char const* greet(unsigned x) { static char const* const msgs[] = { "hello", "Boost.Python", "world!" }; if (x > 2) throw std::range_error("greet: index out of range"…

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